Question

（2013•杨浦区一模）已知数列{an}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（an）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：

①，

②f（x）=x2，

③f（x）=ex，

④，

则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）

A.①② B.③④ C.①②④ D.②③④

Answer 1

C

【解析】

试题分析：设数列{an}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（an）}为等差数列，即可得到结论．

【解析】
设数列{an}的公比为q（q≠1）

①由题意，lnf（an）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；

②由题意，lnf（an）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=lnq2=2lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；

③由题意，lnf（an）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=an+1﹣an不是常数，∴数列{lnf（an）}不为等差数列，不满足题意；

④由题意，lnf（an）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；

综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①②④

故选C．