题目内容
19．已知非零向量$\overrightarrow a\;，\;\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，且$|{\overrightarrow b}$|=2，$|{\overrightarrow b-2\overrightarrow a}$|=2，则$|{\overrightarrow a}$|=（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 1 | C． | $\sqrt{2}$ | D． | 2 |
分析 把已知的向量等式两边平方，展开数量积，代入已知条件得到关于$|\overrightarrow{a}|$的一元二次方程，求解得答案．
解答 解：∵＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$，$|\overrightarrow{b}|=2，|\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}|=2$，
∴$|\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}{|}^{2}=（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）^{2}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{a}{|}^{2}=4$，
则$4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4×2×\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}|+4=4$，
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{a}|=0$，
∵$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$，∴$|\overrightarrow{a}|=1$．
故选：B．
点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是中档题．
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