Question

14．已知函数f（x）=|2x-a|+|2x-1|，a∈R．
（I）当a=3时，求关于x的不等式f（x）≤6的解集；
（II）当x∈R时，f（x）≥a²-a-13，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）分类讨论，即可求关于x的不等式f（x）≤6的解集；
（II）当x∈R时，f（x）≥a²-a-13等价于|1-a|≥a²-a-13，分类讨论，求实数a的取值范围．

解答 解：（I）当a=3时，不等式f（x）≤6为|2x-3|+|2x-1|≤6
若$x＜\frac{1}{2}$时，不等式可化为-（2x-3）-（2x-1）=-4x+4≤6，解得$-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}$，
若$\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$时，不等式可化为-（2x-3）+（2x-1）=2≤6，解得$\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$，
若$x＞\frac{3}{2}$时，不等式可化为（2x-3）+（2x-1）=4x-4≤6，解得$\frac{3}{2}＜x≤\frac{5}{2}$，
综上所述，关于x的不等式f（x）≤6的解集为$\left\{{x\left|{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}}\right.}\right\}$．     …（5分）
（II）当x∈R时，f（x）=|2x-a|+|2x-1|≥|2x-a+1-2x|=|1-a|，
所以当x∈R时，f（x）≥a²-a-13等价于|1-a|≥a²-a-13，
当a≤1时，等价于1-a≥a²-a-13，解得$-\sqrt{14}≤a≤1$，
当a＞1时，等价于a-1≥a²-a-13，解得$1＜a≤1+\sqrt{13}$，
所以a的取值范围为$[{-\sqrt{14}，1+\sqrt{13}}]$．   …（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．