Question

如图所示几何体是正方体截去三棱锥后所得，点为的中点.

(1) 求证：平面平面；

(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，是等腰三角形，M为的中点，所以，同理，利用线面垂直的判定得平面，再利用面面垂直的判定得到平面平面；第二问，利用向量法求二面角的余弦值，先根据已知条件建立空间直角坐标系，得到平面上点的坐标及向量坐标，根据公式求出平面的法向量，最后根据夹角公式求夹角的余弦值.

试题解析：(1) 证明：因为几何体是正方体截取三棱锥后所得，

.（6分）

(2) 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

依题意知，，

有

设平面的一个法向量，

有代入得，

设，有，平面的一个法向量，

设平面与平面所成锐二面角大小为，有，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （12分）

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法.