Question

4．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=ae^x+（b²-3）x在x=0处取得极值，则ab的最大值等于2．

Answer 1

分析 求导数f′（x），据题意便有f′（0）=a+b²-3=0，从而得出a=3-b²，从而ab=-b³+3b，并且根据a＞0，b＞0，可求出$0＜b＜\sqrt{3}$，并设g（b）=-b³+3b，求导数，根据导数符号便可判断出g（b）在b=1时取得最大值，这样即可求出ab的最大值．

解答 解：f′（x）=ae^x+b²-3；
∵f（x）在x=0处取得极值；
∴f′（0）=a+b²-3=0；
∴a=3-b²；
∴ab=（3-b²）b=-b³+3b；
∵a＞0，b＞0；
∴3-b²＞0；
∴$0＜b＜\sqrt{3}$；
设g（b）=-b³+3b，g′（b）=-3b²+3=3（1-b²）；
∴b∈（0，1）时，g′（b）＞0，b$∈（1，\sqrt{3}）$时，g′（b）＜0；
∴b=1时，g（b）取最大值2；
即ab的最大值为2．
故答案为：2．

点评 考查函数极值的概念，以及根据导数符号判断函数极值和最值的方法及过程，清楚函数在极值点处的导数为0，注意正确求导．