Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，并且S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+a对任意的正整数n都成立，其中a₁=2，a₂=1．
（1）求a的值；
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+a对任意的正整数n都成立，其中a₁=2，a₂=1．当n=1时，S₂=$\frac{1}{2}{S}_{1}$+a，解得a即可．
（2）由S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，变形S_n+1-4=$\frac{1}{2}（{S}_{n}-4）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：（1）S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+a对任意的正整数n都成立，其中a₁=2，a₂=1．
∴当n=1时，S₂=$\frac{1}{2}{S}_{1}$+a，∴1+2=$\frac{1}{2}×2$+a，解得a=2．
（2）由S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，变形S_n+1-4=$\frac{1}{2}（{S}_{n}-4）$，
∴数列{S_n-4}是等比数列，首项为-2，公比为$\frac{1}{2}$．
∴S_n-4=$-2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴S_n=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．