Question

 已知、，椭圆C的方程为，、分别为椭圆C的两个焦点，设为椭圆C上一点，存在以为圆心的与外切、与内切

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆C相交于A、B两点，与轴相交于点D，若

求的值；

（Ⅲ）已知真命题：“如果点T（）在椭圆上，那么过点T

的椭圆的切线方程为=1.”利用上述结论，解答下面问题：

已知点Q是直线上的动点，过点Q作椭圆C的两条切线QM、QN，

M、N为切点，问直线MN是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想

解：（Ⅰ）依题意可知，P与外切、内切. 设P的半径为，则

  -----------------------------------2分

，   2=4，2==2

=2，c=1 , 椭圆C的方程为+=1  ------------------------4分

（Ⅱ）直线AB：y=k（x-1），由  

,令A,则，

，      ------------------------------------6分

∵

∴，

∵2=，， ------------------------------------8分

2+

=

= ，      ∴. -----------------------10分

（Ⅲ）设Q（）,M（），N（）

         则切线QM：

切线QN：

∴     ∴M、N在直线上

∴  直线MN：------------------------------------12分

又   

 ∴直线MN必过定点（）. ------------------------------------13分