Question

如图，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC=CE，点F为CE的中点．
（Ⅰ）证明：AE∥平面BDF；
（Ⅱ）点M为CD上的任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：

分析：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接OF，利用已知ABCD是矩形得到OF∥AE，再由线面平行的判定定理可证；
（Ⅱ）当P为AE中点时，有PM⊥BE；取BE中点H，连接DP，PH，CH，结合三角形的中位线性质以及面面平行的性质进行推理得到BE⊥平面DPHC即可．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，连接OF，如图

在△ACE中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴O为AC的中点，又F为EC的中点，
∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF，
∴AE∥平面BDF．
（Ⅱ）解：当P为AE中点时，有PM⊥BE，
证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，
如图
∵P为AE的中点，H为BE的中点，
∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，
∴P，H，C，D四点共面．
∵平面ABCD∥平面BCE，CD⊥BC
∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE，
∴CD⊥BE∵BC=CE，H为BE的中点，
∴CH⊥BE，
∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC，
∴BE⊥PM即PM⊥BE．

点评：本题考查了空间点线面的位置关系、线面平行和线面垂直的证明，考查了学生的空间想象能力、推理能力以及转化的数学思想．