Question

3．若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $[{1，\frac{3}{2}}）$
• B． $[{\frac{3}{2}，+∞}）$
• C． [1，2）
• D． $[{\frac{3}{2}，2}）$

Answer 1

分析 先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），解关于导函数的不等式，求出f（x）的单调区间，根据子区间（k-1，k+1）是单调函数，建立不等关系，解之即可．

解答 解：∵f（x）定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=4x-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x+1）（2x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
∵f（x）在（k-1，k+1）内是单调函数，
∴k-1≥$\frac{1}{2}$，解得，k≥$\frac{3}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．属于基础题．