题目内容

2．如图，在△ABC中，$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}$，已知点P，Q分别为线段CA，CB（不含端点）上的动点，PQ与CG交于H，且H为线段CG中点，若$\overrightarrow{CP}$=m$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CQ}$=n$\overrightarrow{b}$，则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（　　）
A．2B．4C．6D．8

分析 由重心的性质及线性运算，用$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，表示$\overrightarrow{CH}$，$\overrightarrow{CH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CG}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{m}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{n}\overrightarrow{CB}）=\frac{1}{6m}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{6n}\overrightarrow{CB}$，由$\frac{1}{6m}+\frac{1}{6n}=1$⇒$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=6$．

解答 解：在△ABC中，∵$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，∴点G是△ABC的重心，由重心的性质可得$\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB）}$
又∵$\overrightarrow{CH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CG}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{m}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{n}\overrightarrow{CB}）=\frac{1}{6m}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{6n}\overrightarrow{CB}$，
∵三点P，Q，H共线，∴$\frac{1}{6m}+\frac{1}{6n}=1$⇒$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=6$，
故选：C

点评 考查向量线性运算，共线向量基本定理，重心的性质，向量数乘的几何意义，属于中档题．

练习册系列答案
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A．6B．12C．24D．48
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