Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，D为边AC的中点，a=3

2

，cos∠ABC=

2

4

（Ⅰ）若c=3，求sin∠ACB的值；
（Ⅱ）若BD=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）运用余弦定理和正弦定理及同角的平方关系，即可计算得到；
（Ⅱ） 以BA，BC为邻边作平行四边形ABCE，再由诱导公式和余弦定理和面积公式，计算即可得到．

解答： 解：（Ⅰ） a=3

2

 ，  cos∠ABC=

2

4

，c=3，
由余弦定理：b²=c²+a²-2cacos∠ABC
=32+(3

2

)2-2×3

2

×3×

2

4

=18，
∴b=3

2

． 
又∠ABC∈（0，π），所以sin∠ABC=

1-cos2∠ABC

=

14

4

，
由正弦定理：

c

sin∠ACB

=

b

sin∠ABC

，
得sin∠ACB=

c×sin∠ABC

b

=

7

4

．
（Ⅱ） 以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，
则cos∠BCE=-cos∠ABC=-

2

4

，BE=2BD=6，
在△BCE中，由余弦定理：BE²=CB²+CE²-2CB•CE•cos∠BCE． 
即36=CE2+18-2×3

2

×CE×(-

2

4

)，
解得：CE=3，即AB=3，
所以S△ABC=

1

2

acsin∠ABC=

9 7

4

．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查诱导公式和同角的平方关系的运用，属于基础题．