Question

（本小题满分14分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为45°，那么实数在什么范围取值时，函数在区间（2，3）内总存在极值？

（3）求证：．

 

Answer 1

（1）当时，的单调递增区间为，减区间为；当时，的单调递增区间为，减区间为；（2）当时，函数在区间（2，3）内总存在极值；（3）令，此时，，由（1）知在上单调递增，所以当时，，即，所以对一切都成立.因为，所以，于是，所以

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【解析】

试题分析：（1）在求单调区间时首先要求出函数的定义域，然后对参数进行分类讨论即可得出答案；（2）点处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即，可求值，代入得的解析式，由，且在区间上总不是单调函数可知：，，，于是可求的取值范围．（3）令，此时，结合（1）可判断对一切成立，进而可得，即可证得结论．

试题解析：（1）因为，所以.

当时，的单调递增区间为，减区间为；当时，的单调递增区间为，减区间为.

（2）因为函数的图像在点处的切线的倾斜角为45°，所以，于是，，所以，所以.要使函数在区间（2，3）内总存在极值，所以只需，，解得，所以当时，函数在区间（2，3）内总存在极值.

（3）令，此时，，由（1）知在上单调递增，所以当时，，即，所以对一切都成立.因为，所以，于是，所以

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考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．