Question

12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，$\overrightarrow m=（b，c-a），\overrightarrow n=（b-c，c+a）$，若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n，a=3$，
则$\frac{c}{sinC}$的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 6

Answer 1

分析 由题意利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理后利用余弦定理可求cosA的值，进而即可确定出A的度数，利用正弦定理即可计算得解．

解答 解：∵$\overrightarrow m=（b，c-a），\overrightarrow n=（b-c，c+a）$，$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
∴b（b-c）+（c-a）（c+a）=0，可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴由A∈（0，π），可得A=$\frac{π}{3}$，
∵a=3，
∴由正弦定理可得：$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量及应用，解题时要注意分析角的范围，属于基础题．