Question

13．已知函数f（x）=|2x-1|．
（Ⅰ）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m-1（m＞0）的解集为[-2，2]，求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2^y+$\frac{a}{{2}^{y}}$+|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用公式法解绝对值不等式；（Ⅱ）分别对有关y的式子和x的式子求最值．

解答 解：（Ⅰ）解不等式|2x|≤2m-1，所以$\frac{1}{2}-m≤x≤m-\frac{1}{2}$，则m-$\frac{1}{2}$=2，m=$\frac{5}{2}$
（Ⅱ）|2x-1|-|2x+3|$≤{2}^{y}+\frac{a}{{2}^{y}}$对任意y∈R恒成立，而${2}^{y}+\frac{a}{{2}^{y}}≥2\sqrt{a}$，所以2$\sqrt{a}$≥|2x-1|-|2x-3|，则$\sqrt{a}≥|x-\frac{1}{2}|-|x+\frac{3}{2}|$，而$|x-\frac{1}{2}|-|x+\frac{3}{2}|≤|（x-\frac{1}{2}）-（x+\frac{3}{2}）|=2$
∴a≥4，a的最小值为4．

点评 本题第一问考查了绝对值不等式的解法．第二问考查了双变元的恒成立问题．要求学生熟练掌握绝对值三角不等式．