Question

14．有以下结论：①函数y=log₂（1-x）的增区间是（-∞，1）；②若幂函数y=f（x）的图象经过点（2，$\sqrt{2}$），则该函数为偶函数；③函数y=3^|x|的值域是[1，+∞）；④若函数y=f（x）为单调增函数，则函数$y=\frac{1}{f（x）}$为减函数．
其中正确结论的序号是③．（把所有正确的结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①根据复合函数单调性的关系进行判断，
②根据幂函数的定义利用待定系数求出函数的解析式即可
③根据指数函数的性质进行判断
④根据函数单调性的关系进行判断．

解答 解：①由1-x＞0得x＜1，即函数的定义域为（-∞，1），
由复合函数的单调性的性质知函数y=log₂（1-x）的减区间是（-∞，1）；故①错误，
②若幂函数y=f（x）的图象经过点（2，$\sqrt{2}$），
设f（x）=x^α，
则f（2）=2^α=$\sqrt{2}$，得α=$\frac{1}{2}$，即f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，则函数的定义域为[0，+∞），则该函数为非奇非偶函数，故②错误
③函数y=3^|x|≥3⁰=1，即函数的值域是[1，+∞）；故③正确，
④若函数y=f（x）为单调增函数，则函数$y=\frac{1}{f（x）}$为减函数．错误，
比如y=x是增函数，但y=$\frac{1}{x}$在定义域上不是单调函数，故④错误，
故答案为：③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的定义域，值域，单调性之间的考查，综合性较强，但难度不大．