Question

2．已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（1）确定方程f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$实数根的个数；
（2）我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先化简方程得：lnx-1=$\frac{2}{x-1}$．分别作出y=lnx-1和y=$\frac{2}{x-1}$的函数图象，通过图象的交点个数来判断方程的解的个数；
（2）先确定曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数，设出切点坐标并求出两个函数导数，根据导数的几何意义列出方程组，化简后利用（1）的结论即可证明．

解答 解：（1）由题意得lnx=$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$，即lnx-1=$\frac{2}{x-1}$．
分别作出y=lnx-1和y=$\frac{2}{x-1}$的函数图象，由图象可知：y=lnx-1和y=$\frac{2}{x-1}$的函数图象有两个交点，
∴方程f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$有两个实根；
（2）解：曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2，证明如下：
设公切线与f（x）=lnx，g（x）=e^x的切点分别为（m，lnm），（n，eⁿ），m≠n，
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，g′（x）=e^x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}={e}^{n}}\\{\frac{lnm-{e}^{n}}{m-n}=\frac{1}{m}}\end{array}\right.$，化简得（m-1）lnm=m+1，
当m=1时，（m-1）lnm=m+1不成立；
当m≠1时，（m-1）lnm=m+1化为lnm=$\frac{m+1}{m-1}$，
由（1）可知，方程lnm=$\frac{m+1}{m-1}$有两个实根，
∴曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2条．

点评 本题考查导数的几何意义，求导公式和法则，考查方程思想、数形结合思想，方程根的个数判断，作出函数图象是解题关键．