Question

12．下列命题中的真命题是（　　）

• A． ?x∈R使得sinx+cosx=1.5
• B． ?x∈（0，π），sinx＞cosx
• C． ?x∈R使得x²+x=-1
• D． ?x∈（0，+∞），e^x＞x+1

Answer 1

分析 A，B，C根据三角函数和一元二次方程概念判断即可；
D通过构造函数，利用导函数判断得出．

解答 解：A中?x∈R使得sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜1.5，故错误；
B中?x∈（0，π），sinx＞cosx，当x∈（0，$\frac{π}{4}$）时，sinx＜cosx，故错误；
C中x²+x+1=0，可知△=1-4＜0，故方程无实数根，故错误；
D中?x∈（0，+∞），令f（x）=e^x-x-1，
∴f'（x）=e^x-1＞0，故函数递增，
∴f（x）＞f（0）=0，故正确；
故选D．

点评 本题考查了同角正弦余弦和差问题，三角函数图象和一元二次方程的概念，构造函数，利用导函数判断函数的单调性．