题目内容
已知
=（x，0），
=（1，y），（
+
）⊥（
-
）．
（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx-1与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的异侧，求实数k的取值范围．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx-1与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的异侧，求实数k的取值范围．
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）运用向量垂直的条件，即为数量积为0，化简整理即可得到轨迹C的方程；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），把y=kx-1代入3x2-y2=1，运用判别式大于0，和两根之积小于0，解不等式求交集即可得到．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），把y=kx-1代入3x2-y2=1，运用判别式大于0，和两根之积小于0，解不等式求交集即可得到．
解答：
解：（1）由(
+
)⊥(
-
)，得到(
+
)•(
-
)=0，
又
=(x，0)，
=(1，y)，得
+
=(
x+1，y)，
-
=(
x-1，-y)
∴(
x+1)•(
x-1)+y•(-y)=0，
故所求的轨迹方程是3x2-y2=1；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），把y=kx-1代入3x2-y2=1，得(3-k2)x2+2kx-2=0，由3-k2≠0且△＞0，得-
＜k＜
且k≠±
，
∵A、B在y轴的异侧，∴x1x2＜0，得到-
＜k＜
，
综上，得k∈(-
，
)．
| 3 |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
又
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| a |
| b |
| 3 |
∴(
| 3 |
| 3 |
故所求的轨迹方程是3x2-y2=1；
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），把y=kx-1代入3x2-y2=1，得(3-k2)x2+2kx-2=0，由3-k2≠0且△＞0，得-
| 6 |
| 6 |
| 3 |
∵A、B在y轴的异侧，∴x1x2＜0，得到-
| 3 |
| 3 |
综上，得k∈(-
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式，考查双曲线方程和运用，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．
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如图，二面角α-l-β中，点A∈β，点B∈l，直线AB与平面α所成的角为30°，直线AB与l夹角为45°，则二面角α-k-β的平面角的正弦值为（ ）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线与直线y=
x+1平行，则它的离心率为（ ）
| 1 |
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
已知F1、F2是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A、e＞
| ||||
B、0＜e＜
| ||||
C、
| ||||
D、
|