Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+S_n=n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设b_n=lo${g}_{\frac{1}{2}}$（1-a_n）时，求数列{$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+2}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件a_n+S_n=n入手推知2（a_n+1-1）=a_n-1，结合等比数列的定义得到数列{a_n-1}是以$-\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．由此求得数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中a_n-1=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，得到1-a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，由此易得b_n=n．所以利用裂项相消法来求数列{$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+2}}$}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+S_n=n，①
∴a_n+1+S_n+1=n+1．②
②-①得a_n+1-a_n+a_n+1=1．
∴2a_n+1=a_n+1，
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，
∴$\frac{an+1-1}{an-1}$=$\frac{1}{2}$．
∵a_n+S_n=n，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，${a_1}-1=-\frac{1}{2}$．
故数列{a_n-1}是以$-\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
∴a_n-1=-$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴a_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，a_n-1=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，则1-a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴b_n=lo${g}_{\frac{1}{2}}$（1-a_n）=b_n=lo${g}_{\frac{1}{2}}$（1-a_n）=lo${g}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{1}{2}$）ⁿ=n．
∴$\frac{1}{{{b}_{n}b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴${T_n}=\frac{1}{{{b_1}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_4}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+2}}}}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}）+\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+…+\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）．

点评 本题主要考查数列的求和公式和数列的递推公式，难度有点儿大．