Question

7．已知x∈（0，2），关于x的不等式$\frac{x}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{k+2x-{x}^{2}}$恒成立，则实数k的取值范围为[0，e-1）．

Answer 1

分析 根据题意显然可知k≥0，整理不等式得出k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，利用构造函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，通过导函数得出函数在区间内的单调性，求出函数的最小值即可

解答 解：依题意，k+2x-x²＞0，即k＞x²-2x对任意x∈（0，2）都成立，
∴k≥0，
∵$\frac{x}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{k+2x{-x}^{2}}$，
∴k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，
令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x，
f'（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+2（x-1）=（x-1）（ $\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$+2），
令f'（x）=0，解得x=1，
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数递增，
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数递减，
∴f（x）的最小值为f（1）=e-1，
∴0≤k＜e-1，
故答案为：[0，e-1）．

点评 考查了构造函数，利用导函数求函数的单调性和函数的最值．