Question

4．已知命题p：?x∈R，x²+1≥a都成立；命题q：方程（ρcosα）²-（ρsina）²=a+2表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若命题p为真命题，可得x²+1≥a都成立，转化为a≤（x²+1）_min，x∈R．利用二次函数的单调性即可得出．
（Ⅱ）由命题q：方程（ρcosα）²-（ρsina）²=a+2，即x²-y²=a+2表示焦点在x轴上的双曲线，可得a+2＞0．由“p且q”为真命题，可得：p与q都为真命题．

解答 解：（Ⅰ）∵若命题p为真命题，∴x²+1≥a都成立，
∴a≤（x²+1）_min，x∈R．
∴a≤1，即实数a的取值范围是（-∞，1]．
（Ⅱ）∵命题q：方程（ρcosα）²-（ρsina）²=a+2，
即x²-y²=a+2表示焦点在x轴上的双曲线，∴a+2＞0，即a＞-2，．
又“p且q”为真命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a＞-2}\end{array}\right.$，解得-2＜a≤1．
∴实数a的取值范围是（-2，1]．

点评 本题考查了二次函数的性质、双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．