Question

函数y=sin³x+cos³x在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值是（　　）

• A、2
• B、1
• C、

  2

  2

• D、0

Answer 1

分析：把已知条件化简可得，f（x）=（cosx+sinx）（1-cosxsinx），利用同角平方关系，采用换元法可得y=

-t3+3t

2

，t∈[-1，1]，利用导数的知识求解函数的单调区间及最值．

解答：解：y=sin³x+cos³x=（cosx+sinx）•（sin²x+cos²x-sinxcosx）
=（cosx+sinx）（1-cosxsinx）
令t=cosx+sinx，则t∈[0，1]
∴t²=1+2sinxcosx
∴y=t•(1-

t2-1

2

)=

-t3+3t

2

，t∈[-1，1]
y′=-

3

2

(t-1)(t+1)＞0?-1＜t＜1
函数在[-1，1]单调递增，从而可得当t=1时函数有最大值1
故选 B

点评：本题综合考查了三角函数的同角平方关系，换元法求函数的解析式，利用导数求函数的最值，解题的关键是令t=sinx+cosx，且t∈[-1，1]，从而转化为求函数在[-1，1]的最值．