Question

已知函数，其中且m为常数．

（1）试判断当时函数在区间上的单调性，并证明；

（2）设函数在处取得极值，求的值，并讨论函数的单调性．

 

Answer 1

（1）在区间上为增函数，证明见解析；（2），在上单调递减，在单调递增．

【解析】

试题分析：（1）首先求导函数，然后根据区间判断的符号即可证明；（2）利用函数的极值点是导函数的零点通过建立方程可求得的值，然后再通过判断的符号确定单调区间．

（1）当时，，求导数得：．

∵当时，，∴ ，

∴当时函数在区间上为增函数．

（2）求导数得：．

由是的极值点得，∴．

于是，定义域为，，

显然函数在上单调递增，且，

因此当时，；时，，

所以在上单调递减，在单调递增．

考点：1、导数的几何意义；2、导数与函数单调性的关系；3、利用导数研究函数的极值．