题目内容

(2014•辽宁二模)设a>1,定义,如果对任意的n∈N*且n≥2,不等式12f(n)+7logab>7loga+1b+7(a>0且a≠1)恒成立,则实数b的取值范围是( )

A. B.(0,1) C.(0,4) D.(1,+∞)

D

【解析】

试题分析:由不等式12f(n)+7logab>7loga+1b+7恒成立这条件转化化为“f(n)>t”这个形式,要求t,先求f(n)的最小值,最后就是利用a与b的关系求出b的范围.

【解析】
知,

=,∴f(n)是递增数列.

∴当n≥2时,f(n)的最小值是f(2)=

要使对任意的n∈N*且n≥2,不等式12f(n)+7logab>7loga+1b+7恒成立,

则满足12•+7logab>7loga+1b+7,

即logab>loga+1b,

∵a>1,∴lgb>0,即b>1.

故选D.

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