Question

20．（1）若抛物线的焦点是椭圆$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$左顶点，求此抛物线的标准方程；
（2）若某双曲线与椭圆$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$共焦点，且以$y=±\sqrt{3}x$为渐近线，求此双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的左顶点，设抛物线的方程为y²=-2px（p＞0），可得焦点，解方程即可得到所求；
（2）求得椭圆的焦点，可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a，b＞0），求得渐近线方程，由题意可得a，b的方程组，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：（1）椭圆$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$左顶点为（-8，0），
设抛物线的方程为y²=-2px（p＞0），
可得-$\frac{p}{2}$=-8，
解得p=16，
则抛物线的标准方程为y²=-32x；
（2）椭圆$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$的焦点为（-4$\sqrt{3}$，0），（4$\sqrt{3}$，0），
可设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a，b＞0），
则a²+b²=48，
由渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
可得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
解得a=2$\sqrt{3}$，b=6，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题．