Question

18．有5名男生和甲、乙2名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？
（1）女生甲排在正中间；
（2）2名女生不相邻；
（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）；
（4）2名女生中间恰有1名男生．

Answer 1

分析 （1）优先安排甲，其他任意排．问题得以解决．
（2）利用插空法，先排5名男生，然后在这5人形成的6个间隔中插入2名女生即可，问题得以解决．
（3）先排2名女生，从7个位置中选出2个位置，再排5名男生，问题得以解决．
（4）选1名男生排在2名女生中间，将这3人看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，问题得以解决．

解答 解：（1）女生甲排在中间，其余6人有$A_6^6$种排法，
因此不同排法种数为$A_6^6=720$．      …（3分）
（2）将5名男生排成一排，有$A_5^5$种排法；
2名女生可以在每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有$A_6^2$种排法，
因此不同排法种数为$A_5^5A_6^2=3600$．       …（6分）
（3）先排2名女生，从7个位置中选出2个位置，有$C_7^2$种排法；
再排5名男生，将5名男生在剩下的5个位置上进行排列的方法数有$A_5^5$种，
因此不同的排法种数为$C_7^2A_5^5=2520$．       …（9分）
（4）选1名男生排在2名女生中间，有$C_5^1$种排法，将这3人看成1个元素，与4名男生共5个元素排成一排，不同的排法有$A_5^5$种，又因为2名女生有$A_2^2$种排法，
因此不同的排法种数为$C_5^1A_2^2A_5^5=1200$．      …（13分）
答：分别有720，3600，2520和1200种不同的排法．     …（14分）

点评 本题主要考查了排列中常见方法：特殊元素优先安排法，不相邻元素插孔法，相邻元素捆绑法的应用．