Question

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤≤200时，车流速度是车流密度的一次函数．

（Ⅰ）当0≤≤200时，求函数的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

 

Answer 1

（1）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

【解析】

试题分析：（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.

试题解析：【解析】
（Ⅰ） 由题意：当时，=60；当时，设

再由已知得，解得

故函数的表达式为

（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得

当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200

当时，

当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．

所以，当时，在区间上取得最大值

综上所述，当，在区间上取得最大值

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

答：（Ⅰ） 函数的表达式

（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

考点：（1）由题意列函数关系式；（2）利用基本不等式求最值.