题目内容

某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知第一小组为[5，6），从左到右前5个小组的频率分别为0.06，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是6．
（1）求这次实心球测试成绩合格的人数；
（2）用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；
（3）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投一次，求甲投得比乙远的概率．

解：（1）第6小组的频率为：1-（0.06+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.12，
此次测试总人数为 $\text{[math]}$ 人，
∴第4，5，6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.12）×50=35（人）．
（2）X=0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴X～B（2， $\text{[math]}$ ），
P（X=0）= $\text{[math]}$ ，
P（X=1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（X=2）= $\text{[math]}$ ，
∴X的分布列为

X	0	1	2
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（3）设甲、乙各投掷一次的成绩为x，y米，
由基本事件满足的区域为 $\text{[math]}$ ，
“甲投得比乙远的概率”满足的区域为x＞y，（如图）
∴由几何概型知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

分析：（1）第6小组的频率为：1-（0.06+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.12，此次测试总人数为 $\text{[math]}$ 人，由此能求出这次实心球测试成绩合格的人数．
（2）X=0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由X～B（2， $\text{[math]}$ ），能求出X的分布列和数学期望．
（3）设甲、乙各投掷一次的成绩为x，y米，由基本事件满足的区域为 $\text{[math]}$ ，“甲投得比乙远的概率”满足的区域为x＞y，由几何概型能求出结果．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．