Question

2．已知二次函数y=f（x），不等式f（x）≤0的解集为N={x|-1≤x≤3}，且关于x的方程f（x）+4=0有两个相等的实数根．
（Ⅰ）若M={x|1-a＜x＜a+1，a∈R}，且M⊆N，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据M⊆N可讨论M是否为∅：分别求出M=∅和M≠∅时a的取值范围，再求并集便可得出实数a的取值范围；
（Ⅱ）根据条件便知一元二次方程f（x）=0的两个实根为-1，3，从而可以设f（x）=b（x+1）（x-3），带入f（x）+4=0便可得到关于x的一元二次方程，该方程有两个相等实数根，从而△=0，这样即可求出b的值，从而得出f（x）的解析式．

解答 解：（Ⅰ）M⊆N；
（1）若M=∅，则：1-a≥a+1；
∴a≤0；
（2）若M≠∅，则$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜a+1}\\{1-a≥-1}\\{a+1≤3}\end{array}\right.$；
∴0＜a≤2；
∴实数a的取值范围为（-∞，2]；
（Ⅱ）f（x）≤0的解集为N={x|-1≤x≤3}；
∴f（x）=0的两实根为-1，3；
∴设f（x）=b（x+1）（x-3）=bx²-2bx-3b；
∴bx²-2bx-3b+4=0有两个相等的实数根；
∴△=4b²-4b（4-3b）=0，b≠0；
∴解得b=1；
∴f（x）=x²-2x-3．

点评 考查子集的定义，描述法表示集合，一元二次不等式的解集和对应的一元二次方程实数根的关系，待定系数求函数解析式的方法，以及一元二次方程有两个相等实根时，判别式△的取值情况．