Question

8．我们可以将1拆分如下：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$，1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$，以此类推，可得：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，其中m，n∈N^*，且m＜n，则满足C${\;}_{t}^{m}$=C${\;}_{t}^{n}$的正整数t的值为43．

Answer 1

分析 根据已知将分母进行拆分，根据裂项法，求出m，n的值，代入足C${\;}_{t}^{m}$=C${\;}_{t}^{n}$，根据排列组合的性质可求得t的值．

解答 解：1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
1=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$+$\frac{1}{110}$+$\frac{1}{132}$+$\frac{1}{156}$=（1-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{n}$+（$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$）+$\frac{1}{156}$，
$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}$=$\frac{43}{390}$，
中m，n∈N^*，且m＜n，
解得m=13，n=30，
C${\;}_{t}^{m}$=C${\;}_{t}^{n}$，
∴m+n=t，
∴t=43，
故答案为：43．

点评 本题考查的知识点是归纳推理，排列组合的运算性质，其中根据已知求出m，n值是解答的关键，属于中档题．