Question

设函数，x∈R，

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根，求实数a的取值范围；

(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)∵，令，解得，， ∴当或时，；当时，． ∴f(x)的单调递增区间为和； f(x)的单调递减区间为． 当时，f(x)有极大值；当时，f(x)有极小值． (2)由(1)函数y=f(x)的图像大致形状如图所示， 当时，直线y=a与y=f(x)的图像有三个不同交点，即方程f(x)=a有三个不同的解． (3)，即． ∵x＞1，∴在(1，＋∞)上恒成立． 令，g(x)在(1，＋∞)上是增函数， ∴g(x)＞g(1)=－3． ∴k的取值范围是k≤－3．

提示：

解析：第(1)小题利用导数求单调区间和极值，第(2)小题可由(1)的结论，把问题转化为函数y=f(x)与y=a的图像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解，第(3)小题可将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解．