Question

已知锐角α，β满足：sinβ-cosβ=

1

5

，tanα+tanβ+

3

tanα•tanβ=

3

，则cosα=（　　）

• A、

  3 3 -4

  10

• B、

  3 3 +4

  10

• C、

  3+4 3

  10

• D、

  4 3 -3

  10

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：由已知数据可解得sinβ=

4

5

，cosβ=

3

5

，sin（α+β）=

3

2

，cos（α+β）=

1

2

，而cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ，代入化简即可．

解答：解：∵sinβ-cosβ=

1

5

，sin²β+cos²β=1，
结合α，β为锐角联立解得sinβ=

4

5

，cosβ=

3

5

，
又tanα+tanβ+

3

tanα•tanβ=

3

，
∴tanα+tanβ=

3

（1-tanα•tanβ），
即tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

3

，
∴sin（α+β）=

3

2

，cos（α+β）=

1

2

∴cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
=

1

2

×

3

5

+

3

2

×

4

5

=

3+4 3

10

故选：C

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，整体法是解决问题的关键，属中档题．