Question

在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=-cosC，
（1）求角A，B，C的大小；
（2）若BC边上的中线AM的长为

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理、二倍角公式结合题中的条件可得sinA=

1

2

，故有A=B=

π

6

，C=

2π

3

．
（2）在△ABM中，由余弦定理得7=c2+

a2

4

-

3

2

ac ①，在△ABC中，由正弦定理可得a=b=

c

3

 ②，由①②解得
a，b，c 的值，即可求得△ABC的面积．

解答：解：（1）由sinA=sinB知A=B，所以C=π-2A，又sinA=-cosC得，sinA=cos2A，即2sin²A+sinA-1=0，
解得sinA=

1

2

，sinA=-1（舍）． 故A=B=

π

6

，C=

2π

3

．
（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为

7

，故在△ABM中，由余弦定理得AM2=c2+

a2

4

-2c•

a

2

•cos

π

6

，
即7=c2+

a2

4

-

3

2

ac．①
在△ABC中，由正弦定理得

a

sin π 6

=

b

sin π 6

=

c

sin 2π 3

，即a=b=

c

3

．②
由①②解得a=2，b=2，c=2

3

． 故△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，求出a=2，b=2，c=2

3

，是解题的难点．