Question

8．（Ⅰ）已知c＞0，关于x的不等式：x+|x-2c|≥2的解集为R．
求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若c的最小值为m，又p、q、r是正实数，且满足p+q+r=3m，求证：p²+q²+r²≥3．

Answer 1

分析 （I）由题意可得函数y=x+|x-2c|在R上恒大于或等于2，求得x+|x-2c|的最小值，解不等式即可得到c的范围；
（Ⅱ）由（1）知p+q+r=3，运用柯西不等式，可得（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²，即可得证．

解答 解：（I）不等式x+|x-2c|≥2的解集为R
?函数y=x+|x-2c|在R上恒大于或等于2，
∵x+|x-2c|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-2c，x≥2c}\\{2c，x＜2c}\end{array}\right.$，
∴函数y=x+|x-2c|，在R上的最小值为2c，
∴2c≥2?c≥1．
所以实数c的取值范围为[1，+∞）；
（Ⅱ）证明：由（1）知p+q+r=3，又p，q，r是正实数，
所以（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²=（p+q+r）²=9，
即p²+q²+r²≥3．当且仅当p=q=r=1等号成立．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的最值的求法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查运算和推理能力，属于中档题．