题目内容
19．已知函数f（x）=ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y=0垂直．（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求k的最大值．
分析 （Ⅰ）由图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y=0垂直．即函数f（x）的导函数在x=1处的函数值为3，求出a的值；
（Ⅱ）利用已知函数的单调性，构造g（x）=2x+lnx+1，由g（x）的单调性得出f（x）的单调性，再由f（x）≥f（x）极小值，解决恒等式，从而求出k的最大值
解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax2+xlnx，∴f′（x）=2ax+lnx+1，
∵切线与直线x+3y=0垂直，∴切线的斜率为3，
∴f′（1）=3，即2a+1=3，故a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2+xlnx，a∈（0，+∞），f′（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），
令g（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），则g'（x）=$\frac{1}{x}$+2，x∈（0，+∞），
由g′（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵g（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=$\frac{2}{{e}^{2}}$-1＜0，g（$\frac{1}{2}$）=2-ln2＞0，
∴存在x0∈（0，$\frac{1}{2}$）使g（x0）=0
∵g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴当x∈（0，x0）时，g（x）=f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，g（x）=f′（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增；
∴f（x）在x=x0处取得最小值f（x0）
∵f（x）＞k恒成立，所以k＜f（x0）
由g（x0）=0得，2x0+lnx0+1=0，所以lnx0=-1-2x0，
∴f（x0）=x02+x0lnx0=x02+x0（-1-2x0）=-x02-x0=$-（{x}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}$$+\frac{1}{4}$，又x0∈（0，$\frac{1}{2}$）
∴f（x0）∈（-$\frac{3}{4}$，0），
∵k∈Z，
∴k的最大值为-1．
点评 本小题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，是一道综合性较强的导数应用题．属于难题．
某工厂对某产品的产量与单位成本的资料分析后有如表数据：| 月 份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 产量x千件 | 2 | 3 | 4 | 3 | 4 | 5 |
| 单位成本y元/件 | 73 | 72 | 71 | 73 | 69 | 68 |
（Ⅱ） 求单位成本y与月产量x之间的线性回归方程．（其中结果保留两位小数）
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：$\widehatb$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_1^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata$=$\overline y$-$\widehatb\overline x$．
（附：线性回归方程$\widehaty$=$\widehatb$x+$\widehata$中，b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）}（{y_i}-\overline y）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehata$=$\overline y$-$\widehatb\overline x$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值，$\hat b，\hat a$的值的结果保留二位小数．）
| A． | （3，+∞） | B． | （1，3） | C． | （2，+∞） | D． | （1，$\sqrt{3}$） |
| A． | 4$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$） | B． | 6sin（B+$\frac{π}{3}$） | C． | 4$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$） | D． | 6sin（B+$\frac{π}{6}$） |
如图，江的两岸可近似的看成两平行的直线，江岸的一侧有A，B两个蔬菜基地，江的另一侧点C处有一个超市．已知A、B、C中任意两点间的距离为20千米．超市欲在AB之间建一个运输中转站D，A，B两处的蔬菜运抵D处后，再统一经过货轮运抵C处．由于A，B两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同．如果从A处出发的运输费为每千米2元，从B处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元．