Question

7．已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|
（1）解不等式f（x）＜1；
（2）若$?x∈R，f（x）≥{log_{\frac{1}{3}}}（m-3）$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；
（2）求出f（x）的最小值，问题转化为$lo{g}_{\frac{1}{3}}（m-3）$≤-3，解出即可．

解答 解：（1）x≥2时：f（x）=x-2-x-1=-3＜1，成立，
-1＜x＜2时：f（x）=2-x-x-1=1-2x＜1，解得：0＜x＜2，
x≤-1时：f（x）=2-x+x+1=3＜1不成立，
故不等式的解集是（0，+∞）；
（Ⅱ）由（1）可知f（x）的最小值是-3，
若$?x∈R，f（x）≥{log_{\frac{1}{3}}}（m-3）$，
即有f（x）_min≥$lo{g}_{\frac{1}{3}}（m-3）$，
即有$lo{g}_{\frac{1}{3}}（m-3）$≤-3，解得：m≥30，
则实数m的取值范围为[30，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．