Question

10．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=4sinφ\end{array}\right.（φ为参数）$，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的普通方程；
（2）求曲线C上任意一点P（x，y）到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=4sinφ\end{array}\right.（φ为参数）$，利用平方关系可得曲线C的普通方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得普通方程．
（2）设曲线C上任意一点P（3cosθ，4sinθ），则点P（x，y）到直线l距离d=$\frac{|5sin（θ-φ）+2|}{\sqrt{2}}$，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=4sinφ\end{array}\right.（φ为参数）$，
利用平方关系可得：曲线C的普通方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$．

直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数可得普通方程：x+2=y+4，即x-y-2=0．
（2）设曲线C上任意一点P（3cosθ，4sinθ），
则点P（x，y）到直线l距离d=$\frac{|3cosθ-4sinθ-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|5sin（θ-φ）+2|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{7}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
当sin（θ-φ）=1时取等号，
∴曲线C上任意一点P（x，y）到直线l距离的最大值是$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、参数方程的应用、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．