题目内容
17．
如图，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，有下列说法：①若点P在△BDC1所在平面上运动，则三棱锥P-AB1D1的体积为定值；
②直线 A1C与平面BDC1的交点为△BDC1的外心；
③若点M、N、L分别是棱A1B1，A1D1，A1A上与端点不重合的三个动点，则△MNL必为锐角三角形；
④若点Q为的中点，点G为正方形ABCD-A1B1C1D1（包含边界）内的一个动点，且始终满足GQ⊥A1C，则动点G的轨迹是以A1为圆心，$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$a为半径的一段圆弧．
其中正确说法有①②③（写出所有正确说法的序号）
分析 抓住正方体的特征，依次对每一个选择判断即可得到答案．
解答 解：对于①：点P在△BDC1所在平面上运动，平面△BDC1与平面AB1D1之间的距离就是三棱锥P-AB1D1高没有变，而底面积AB1D1也没有变，则三棱锥P-的体积为定值；故①正确．
对于②：连接BD1，BD1与直线 A1C垂直，A1C垂直平面BDC1，与BD1交点正方体的中心，即也是长方形ABC1D1对角线，所以为△BDC1的外心．故②正确．
对于③：点M、N、L分别是棱A1B1，A1D1，A1A上与端点不重合的三个动点，MN，ML，NL形成的直线的夹角小于90°，则△MNL必为锐角三角形；故③正确．
对于④：若点Q为A1A的中点，点G为正方形ABCD-A1B1C1D1（包含边界）内的一个动点，且始终满足GQ⊥A1C，则动点G是接连A1B1，A1D1中点的线段．故④不正确．
综上所述：正确的是：①②③
故答案为①②③．
点评 本题考查了命题的真假的判断与运用能力，以正方体的几何特征为载体，考查体积的变化，角度的变化以及动点构成的图形．属于中档题．
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