Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，x≤0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-a恰有三个互不相同的零点x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1}{32}$，0）
• B． （-$\frac{1}{16}$，0）
• C． （0，$\frac{1}{32}$）
• D． （0，$\frac{1}{16}$）

Answer 1

分析 根据f（x）的图象判断x₂的范围和x₁，x₂，x₃的关系，得出x₁x₂x₃关于x₂的函数，利用单调性求出该函数的值域．

解答 解：令g（x）=f（x）-a=0得f（x）=a，
做出f（x）的函数图象如图所示：

∵g（x）有三个不同的零点x₁，x₂，x₃，
则-$\frac{1}{8}$＜x₁＜0，0＜x＜$\frac{1}{2}$，x₂+x₃=1．且-2x₁=-x₂²+x₂，
∴x₁=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}}{2}$，x₃=1-x₂．
∴x₁x₂x₃=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}}{2}$•x₂•（1-x₂）=-$\frac{1}{2}$x₂⁴+x₂³-$\frac{1}{2}$x₂²，
令h（x₂）=-$\frac{1}{2}$x₂⁴+x₂³-$\frac{1}{2}$x₂²，则h′（x₂）=-2x₂³+3x₂²-x₂=-x₂（2x₂-1）（x₂-1），
∵0＜x₂＜$\frac{1}{2}$，∴h′（x₂）＜0，
∴h（x₂）在（0，$\frac{1}{2}$）上是减函数，
又h（0）=0，h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{32}$．
∴-$\frac{1}{32}$＜h（x₂）＜0．
另解：设-2x=a，即x₁=-$\frac{1}{2}$a，（0＜a＜$\frac{1}{4}$），
-x²+x=a，可得x₂x₃=a，
则x₁x₂x₃=-$\frac{1}{2}$a²∈（-$\frac{1}{32}$，0）．
故选A．

点评 本题考查了函数零点与图象的关系，函数值域的计算，属于中档题．