题目内容
16．正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an2+an（n∈N*），设cn=（-1）n$\frac{{2{a_n}+1}}{{2{S_n}}}$，则数列{cn}的前2017项的和为-$\frac{2019}{2018}$．分析 利用an=Sn-Sn-1判断{an}为等差数列，得出{an}的通项公式，从而得出cn的通项公式，使用列项法求和．
解答 解：当n=1时，2a1=a12+a1，∴a1=1或a1=0（舍）．
当n≥2时，2an=2Sn-2Sn-1=an2+an-an-12-an-1，
∴an+an-1=a${\;}_{{n}^{\;}}$2-an-12=（an+an-1）（an-an-1）．
∵an+an-1≠0，∴an-an-1=1，
∴{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列．
∴an=n，2Sn=n2+n．
∴cn=（-1）n$•\frac{2n+1}{{n}^{2}+n}$=（-1）n（$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$）．
设cn的前n项和为Tn，
则T2017=-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$+…-$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=-1-$\frac{1}{2018}$=-$\frac{2019}{2018}$．
故答案为：$-\frac{2019}{2018}$．
点评 本题考查了等差关系的判定，等差数列的通项公式及裂项求和，属于中档题．
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