题目内容

甲、乙、丙三位同学独立完成6道数学自测题，他们答及格的概率依次为 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ．求：
（1）三人中有且只有2人答及格的概率；
（2）三人中至少有一人不及格的概率．

解：（1）设甲、乙、丙答题及格分别为事件A，B，C，则事件A，B，C相互独立．
三人中有且只有2人答及格的概率为：P₁=P（AB $\text{[math]}$ ）+P（AC $\text{[math]}$ ）+P（BC $\text{[math]}$ ）
=P（A）P（B）P（ $\text{[math]}$ ）+P（A）P（C）P（ $\text{[math]}$ ）+P（B）P（C）P（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ）+× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）三人中至少有1人不及格的概率为
P₂=1-P（ABC）=1-P（A）P（B）P（C）=1- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（1）设甲、乙、丙答题及格分别为事件A，B，C，则事件A，B，C相互独立．则所求事件的概率等于P₁=P（AB $\text{[math]}$ ）+P（AC $\text{[math]}$ ）+P（BC $\text{[math]}$ ）=P（A）P（B）P（ $\text{[math]}$ ）+P（A）P（C）P（ $\text{[math]}$ ）+P（B）P（C）P（ $\text{[math]}$ ），运算求得结果．
（2）三人中至少有1人不及格的概率等于1减去三个人都及格的概率．
点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．