题目内容

已知展开式
sinx
x
=1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…对x∈R且x≠0恒成立，方程
sinx
x
=0有无究多个根：±π，±2π，…±nπ，…，则1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…=(1-
x2
π2
)(1-
x2
22π2
)…(1-
x2
n2π2
)…，比较两边x2的系数可以推得1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
+…=
π2
6
．设代数方程1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n个不同的根：±x1，±x2，…±xn，类比上述方法可得a1=
（
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
）
（
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
）
．（用x1，x2，…，xn表示）
分析：由已知中式
sinx
x
=1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…对x∈R且x≠0恒成立，方程
sinx
x
=0有无究多个根：±π，±2π，…±nπ，…，则，1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…=(1-
x2
π2
)(1-
x2
22π2
)…(1-
x2
n2π2
)…，比较两边x2的系数可以推得1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
+…=
π2
6
．类比推理可由代数方程1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n个不同的根：±x1，±x2，…±xn，转化 为1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=(1-
1
x
2
1
)(1-
1
x
2
2
)…(1-
1
x
2
n
)，比较两边x2的系数即可得到答案．
解答：解：由1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…=(1-
x2
π2
)(1-
x2
22π2
)…(1-
x2
n2π2
)中，
比较两边x2的系数可以推得：1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
+…=
π2
6
．
类比揄代数方程1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n个不同的根：±x1，±x2，…±xn，
即1-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=(1-
1
x
2
1
)(1-
1
x
2
2
)…(1-
1
x
2
n
)中，
比较两边x2的系数可以推得：a1=（
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
）
故答案为：（
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
）
点评：本题考查的知识点是类比推理，其中由已知根据方程根的形式，将一个累加式变成一个累乘式，用到一次类比推理；现时观察两边x2的系数得到结论，又用到一次类比，故难较大．
练习册系列答案
相关题目
设代数方程a0-a1x2+a2x4-…+（-1）nanx2n=0有2n个不同的根±x1，±x2，…，±xn，则a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=a0(1-
x2
x
2
1
)(1-
x2
x
2
2
)•…•(1-
x2
x
2
n
)，比较两边x2的系数得a1=
a0(
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
)
a0(
1
x
2
1
+
1
x
2
2
+…+
1
x
2
n
)
（用a0•x1•x2•…•xn表示）；若已知展开式
sinx
x
=1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…对x∈R，x≠0成立，则由于
sinx
x
=0有无穷多个根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是1-
x2
3!
+
x4
5!
-
x6
7!
+…=(1-
x2
π2
)(1-
x2
22•π2
)•…•(1-
x2
n2π2
)•…，利用上述结论可得1+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
+…=
π2
6
π2
6
．

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