Question

13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=5，A、B是圆C上的两个动点，AB=2，则$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范围为[8-4$\sqrt{5}$，8+4$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 根据圆的半径和余弦定理求出cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，根据勾股定理求出CD，∠COD=θ，0≤θ≤π，利用向量的加减的几何意义和向量的数量积的运算，得到$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=${\overrightarrow{OC}}^{2}$+$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）+$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，代值，根据余弦函数的性质计算即可．

解答 解：∵圆C：（x-3）²+（y-4）²=5，
∴CA=CB=$\sqrt{5}$，
由余弦定理可得cos∠ACB=$\frac{C{A}^{2}+C{B}^{2}-A{B}^{2}}{2×CA•CB}$=$\frac{5+5-4}{2×5}$=$\frac{3}{5}$，
设D为AB的中点，
∴CD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2，
设∠COD=θ，0≤θ≤π，
∴-1≤cosθ≤1，
∵$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{CD}$
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CB}$）=${\overrightarrow{OC}}^{2}$+$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）+$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$
=5+2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{CD}$+$\sqrt{5}×\sqrt{5}$×$\frac{3}{5}$=8+2×$\sqrt{5}$×2•cosθ=8+4$\sqrt{5}$cosθ，
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范围为[8-4$\sqrt{5}$，8+4$\sqrt{5}$]，
故答案为：[8-4$\sqrt{5}$，8+4$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查向量的几何意义以及余弦定理，向量的数量积，三角形函数的性质，考查了分析问题，解决问题，运算的能力，以及数形结合和化归思想，属于难题．