Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做锐角α和钝角β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（1）求tan（2α-β）的值； 
（2）求β-α的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，cosβ，tanα，tanβ，进而利用二倍角的正切函数公式可求tan2α，根据两角差的正切函数公式即可计算tan（2α-β）的值．
（2）由（1）利用两角差的余弦函数公式可求cos（β-α）的值，结合范围β-α∈（0，π），即可得解β-α的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）根据题意得sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，…（1分）
∴$cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$cosβ=\frac{{-3\sqrt{10}}}{10}$，…（2分）
∴$tanα=\frac{1}{2}$，$tanβ=-\frac{1}{3}$，…（3分）
$tan2α=\frac{4}{3}$，…（4分）
∴tan（2α-β）=$\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2αtanβ}$=3．…（6分）
（2）cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα…（7分）
=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（10分）
∵由题意β-α∈（0，π），
∴β-α=$\frac{3π}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．