Question

10．下列函数中，最小值为2的是（　　）

• A． y=x+$\frac{1}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
• C． y=4^x+2^x，x∈[0，+∞）
• D． y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$

Answer 1

分析 在A中，当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$≥2；当x＜0时，y=x+$\frac{1}{x}$≤-2；在B中，由sinx＜1，知y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值不为2；在C中，当x=0时，y=4^x+2^x取最小值为2；在D中，由$\sqrt{{x}^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$，得y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值不是2．

解答 解：在A中，当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x×\frac{1}{x}}$=2，
当且仅当x=$\frac{1}{x}$时，取等号；
当x＜0时，y=x+$\frac{1}{x}$≤-2$\sqrt{x×\frac{1}{x}}$=-2，
当且仅当x=$\frac{1}{x}$时，取等号．故A错误；
在B中，∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx∈（0，1），
∴y=sinx+$\frac{1}{sinx}$≥$2\sqrt{sinx•\frac{1}{sinx}}$=2，
当且仅当sinx=$\frac{1}{sinx}$，即sinx=1时，取等号，
由sinx＜1，知y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值不为2．故B错误；
在C中，∵x∈[0，+∞），∴4^x∈[1，+∞），2^x∈[1，+∞），
∴当x=0时，y=4^x+2^x取最小值为2，故C正确；
在D中，y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$$≥2\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+2}×\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}}$=2，
当且仅当$\sqrt{{x}^{2}+2}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，即$\sqrt{{x}^{2}+2}=1$时取等号，
∵$\sqrt{{x}^{2}+2}$$≥\sqrt{2}$，∴y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值不是2，故D错误．
故选：C．

点评 本题考查函数的最小值的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式的性质的合理运用．