Question

19．在平面直角坐标系xOy中，则过椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$ （φ为参数）的右焦点且与直线$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t为参数）平行的直线被椭圆截得的弦长为$\frac{90\sqrt{14}}{61}$．

Answer 1

分析 椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$ （φ为参数），利用平方关系化为普通方程，其右焦点F（4，0）．可得过右焦点且与直线$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t为参数）平行的直线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入椭圆方程可得关于t的一元二次方程，利用直线被椭圆截得的弦长=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$ （φ为参数）化为普通方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，c=$\sqrt{25-9}$=4，其右焦点F（4，0）．
过右焦点且与直线$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=3-t}\end{array}\right.$（t为参数）平行的直线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入椭圆方程可得：61t²+144$\sqrt{5}$t-405=0，
∴t₁+t₂=$-\frac{144\sqrt{5}}{61}$，t₁t₂=-$\frac{405}{61}$．
∴直线被椭圆截得的弦长=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{90\sqrt{14}}{61}$．
故答案为：$\frac{90\sqrt{14}}{61}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与椭圆相交转化为一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．