Question

1．已知函数f（x）满足f（1+x）+f（1-x）=0，且f（-x）=f（x），当1≤x≤2时，f（x）=2^x-2，求f（2017）（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由已知得f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），从而得到f（x+4）=f（x），再由当1≤x≤2时，f（x）=2^x-1，能求出f（2017）的值．

解答 解：∵f（1+x）+f（1-x）=0，且f（-x）=f（x），
∴f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），
令x-1=t，得f（t+2）=-f（t），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）以4为周期的周期函数，
∵当1≤x≤2时，f（x）=2^x-1，
∴f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=2¹-1=1．
故选：C．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性及奇偶性的合理运用．