Question

过点P（2，1）的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．
（1）求u=|OA|+|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；
（2）求v=|PA|•|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出直线方程的截距式，用含有一个字母的代数式表示出u，然后利用基本不等式求最小值；
（2）由两点间的距离公式求出|PA|，|PB|，代入v=|PA|•|PB|后取平方，然后利用基本不等式求最值．
解答：解：（1）设点A（a，0），B（0，b），则直线l：
∵P（2，1）在直线l上，∴，∴，∵a，b＞0，∴a＞2．
==．
当且仅当a-2=（a＞2），即a=2+时等号成立．此时b=1+．
∴，此时l：，即；
（2）由（1）知，，
∵，
∴．
当且仅当，即a=3时等号成立，此时b=3．
∴u_min=4，此时l：，即x+y=3．
点评：本题考查了直线方程的应用，训练了利用基本不等式求最值，解答的关键在于利用基本不等式求最值的条件，是中档题．