Question

15．已知函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+（{{m^2}-1}）x$（x∈R），其中m＞0为常数．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析 （1）根据m=1，我们易求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可；
（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间．

解答 解：（1）当m=1时，f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²，f′（x）=-x²+2x，故f′（1）=1．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，
而f（1）=$\frac{2}{3}$，
故切线方程是：y-$\frac{2}{3}$=x-1，
整理得：y=x-$\frac{1}{3}$；
（2）f′（x）=-x²+2x+m²-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因为m＞0，所以1+m＞1-m．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1-m）	1-m	（1-m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．
函数的极小值为：f（1-m）=-$\frac{2}{3}$m³+m²-$\frac{1}{3}$；
函数的极大值为：f（1+m）=$\frac{2}{3}$m³+m²-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知函数的解析式求出导函数的解析式是解答本题的关键．