Question

点P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一点，则的取值范围是

1. A.
   [-1，-]
2. B.
   [-，-
3. C.
   [-1，0]
4. D.
   [-，0]

Answer 1

D
分析：建立空间直角坐标系，则点A（1，0，0），C₁ （0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得 0≤x≤1，
0≤y≤1，z=1，计算 =x²-x，再利用二次函数的性质求得它的值域．
解答：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD₁所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
则点A（1，0，0），C₁ （0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得 0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．
∴=（1-x，0，0 ），=（-x，1-y，1-z），∴=-x（1-x）+0+0=x²-x，
由二次函数的性质可得，当x=时，取得最小值为-，当x=0 x=1时，取得最大值为0，
则的取值范围是[-，0]，
故选D．

点评：本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．